Question

решите с полным объяснением ​

Answer 1

Значение равное нулю такое неравенство не примет, т.к. числитель всегда больше нуля.

Значение, меньшее нуля будет при всех положительных числителях и знаменателях.

Т.к. числитель всегда  больше нуля, нам нужно решить неравенство когда знаменатель больше нуля.

х²+8х+15>0

Теперь найдем значения х, при котором х²+8х+15=0. Это будут граничные значения х, которые ограничивают область искомых значений, удовлетворяющих условию.

х²+2*4*х+4²= 1

(х+4)²=1

х₁= -3    х₂= -5

Исходя из формы графика квадратичной функции (парабола) делаем вывод, что  при х∈[-5;-3] функция принимает отрицательные и нулевые значения. Поэтому, весь промежуток [-5;-3] следует исключить из области значений.

Тогда ответ х∈(-∞;-5) ∪ (-3; +∞)

Answer 2

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

$-\dfrac{x^2+12}{x^2+8x+15}\leq 0~~~~|~\cdot (-1)\\\\ \dfrac{x^2+12}{x^2+8x+15}\geq 0$

Числитель разложить на линейные множители невозможно. Разложим знаменатель на множители по т. Виета

$\dfrac{x^2+12}{(x+5)(x+3)}\geq 0$

Метод интервалов :  x₁ ≠ -5; x₂ ≠ -3 .  Вся числовая ось разбивается этими точками на 3 интервала, в каждом из которых нужно проверить знак дроби, подставляя абсолютно любое значение из каждого интервала. Например:

$x = -10; ~~~~\dfrac{(-10)^2+12}{(-10+5)(-10+3)}=\dfrac{(+)}{(-)(-)}>0~~(+)\\\\x = -4;~ ~~~~\dfrac{(-4)^2+12}{(-4+5)(-4+3)}=\dfrac{(+)}{(+)(-)}<0~~~~(-)\\\\x = 0; ~~~~~~\dfrac{0^2+12}{(0+5)(0+3)}=\dfrac{(+)}{(+)(+)}>0~~~~~(+)$

++++++++++ (-5) -------------- (-3) +++++++++++> x

По условию дробь должна быть положительной или равна нулю. В данном случае дробь может быть только положительной, выбираем интервалы со знаком "+".

x ∈ (-∞; -5) ∪ (-3; +∞)