Question

Найти неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{dx}{5x^2+3}=\frac{1}{\sqrt5}\int \frac{\sqrt5\, dx}{(\sqrt5x)^2+(\sqrt3)^2}=\frac{1}{\sqrt5}\cdot \frac{1}{\sqrt3}\cdot arctg\frac{\sqrt5x}{\sqrt3}+C\; ;\\\\(\frac{1}{\sqrt{5\cdot 3}}\cdot arctg\frac{\sqrt5x}{\sqrt3}+C)'=\frac{1}{\sqrt{5\cdot 3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{5x^2}{3}}}\cdot \frac{\sqrt5}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt{3+5x^2}}=\frac{1}{5x^2+3}$

$2)\; \; \int e^{cosx}\cdot sinx\, dx=[\; t=cosx,\; dt=-sinx\, dx\; ]=\\\\=-\int e^{t}\cdot dt=-e^{t}+C=-e^{cosx}+C\; ;\\\\(-e^{cosx}+C)'=-e^{cosx}\cdot (cosx)'=-e^{cosx}\cdot (-sinx)=e^{cosx}\cdot sinx\\\\3)\; \; \int \frac{dx}{x(ln^2x-1)}=[\; t=lnx,\; dt=\frac{dx}{x}\; ]=\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}\cdot ln\Big |\frac{t-1}{t+1}\Big |+C=\\\\=\frac{1}{2}\cdot ln\Big |\frac{lnx-1}{lnx+1}\Big |+C\; ;$

$\Big (\frac{1}{2}\cdot ln\Big |\frac{lnx-1}{lnx+1}\Big |+C\Big )'=\frac{1}{2}\cdot \frac{lnx+1}{lnx-1}\cdot \frac{\frac{1}{x}(lnx+1)-\frac{1}{x}(lnx-1)}{(lnx+1)^2}=\\\\=\frac{lnx+1}{2\cdot (lnx-1)}\cdot \frac{lnx+1-lnx+1}{x\cdot (lnx+1)^2}=\frac{1}{x\cdot (lnx-1)(lnx+1)}=\frac{1}{x\cdot (ln^2x-1)}$