Question

Решите уравнениеcos x + 2cos(2x-pi/3)=sqrt3 sin2x-1

Answer 1

$\displaystyle \cos x+2\cos \left( 2x-\dfrac{\pi}3 \right) =\sqrt3 \sin 2x-1$

Распишем второй косинус из левой части уравнения, как косинус разности двух аргументов.

$\displaystyle \cos x+2\left( \cos 2x\cdot \cos \left( \dfrac{\pi}3 \right) +\sin 2x\cdot \sin \left( \dfrac{\pi}3 \right) \right) =\sqrt3 \sin 2x-1$

Упростим.

$\displaystyle \cos x+2\cos 2x\cdot \dfrac12 +2\sin 2x\cdot \dfrac{\sqrt3}2 -\sqrt3 \sin 2x+1=0\\\\\cos x+\cos 2x+1=0$

Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента: cos2α = 2cos²α-1

$\displaystyle \cos x+2\cos ^2x-1+1=0\\\\2\cos (x)\cdot \left( \cos x+\dfrac12 \right) =0\\\\\left[\begin{array}{ccc}\cos x=0\qquad \\\cos x+\dfrac12 =0\end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{ccc}\cos x=0\quad \\\cos x=-\dfrac12\end{array}\right.$

Решим простейшие тригонометрические уравнения.

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x=\pm \arccos (0) +2\pi n\qquad \\x=\pm \arccos \left( -\dfrac12 \right) +2\pi k\end{array}\right.n,k\in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x=\pm \dfrac{\pi}2 +2\pi n\\\\x=\pm \dfrac{2\pi}3 +2\pi k\end{array}\right.n,k\in \mathbb{Z}$ - ответ.