Question

5 sin²x+1,5 sin²x меньше или равно 2 cos²x+3

Answer 1

$(\frac{3}{2}+5)sin^2x \leq 2cos^2x+3;\\\frac{13}{2}sin^2x-2cos^2x-3*1\leq  0; sin^2x+cos^2x=1$

$(\frac{13}{2} -3)sin^2x+(-2-3)cos^2x\leq 0\\\left[\begin{array}{ccc}\left \{ {{cos^2x=0} \atop {(\frac{13}{2}-3 )sin^2x-5*0\leq 0}} \right. \\\left \{ {{cosx\neq 0} \atop {\frac{7}{2}sin^2x-5cosx\leq  0 |:cos^2x\\\end{array}$

Первая система не имеет решений т.к. $cos^2x+sin^2x=1$ по основ. тригон. тожд., а у нас получается, что равно 0 и так же квадрат не может быть меньше 0. Тогда решаем вторую систему.

$\left \{ {{cosx\neq 0} \atop {\frac{7}{2}tg^2x-5\leq 0 }} \right.$ Знак не поменялся т.к. квадрат всегда положительный (если что я поделил на $cos^2x$)

$\left \{ {{cosx\neq 0} \atop {tg^2x\leq 10/7}} \right. \\\left \{ {{cosx\neq 0} \atop {-\sqrt{\frac{10}{7} }\leq  tgx\leq \sqrt{\frac{10}{7} } }} \right.$

Ответ: x∈[-arctg($\sqrt{\frac{10}{7} }$)+pi*n;arctg($\sqrt{\frac{10}{7} }$)+pi*n], n∈Z