Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА!

Задание:
1. Для функции y=f(x) найдите:
Производную;
Критические точки;
Промежутки монотонности и экстремумы;
По результатам составьте таблицу.
2. Постройте график функции y=f(x) и y=f`(x) в одной системе координат
3. Напишите уравнение касательной к графику функции, проходящей через х0
4. Вычислите угол наклона касательной к графику функции в точке х0


Буду очень благодарна!!

Answer 1

ДАНО:Y(x) = x³ + 6*x²  -15*x -3

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

Применим тригонометрическую формулу Виета.

Разложим многочлен на множители. Y=(x+7,86)*(x+0,19)*(x-2,05)

Нули функции: Х₁ =-7,86, Х₂ =-0,19,  Х₃ =2,05

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-7,86]U[-0,19;2,05]  

Положительная -Y(x)>0 X∈[-7,86;-0,19]U[2,05;+∞)

4. Пересечение с осью OY. Y(0) =   -3

5. Исследование на чётность.  

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная - функция общего вида.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² + 12*x -15 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х4=-5   Х5=1

Положительная парабола -  отрицательная между корнями

7. Локальные экстремумы.  

Максимум  Ymax(X4=-5) =97.   Минимум Ymin(X5=1) =-11

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;-5;]U[1;+∞) , убывает - Х∈[-5;1]

9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x + 12 = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=-2

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=-2]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=-2; +∞).

11. График в приложении.

Уравнение касательной.

Уравнение касательной

Y = F'(Xo)*(x - Xo) + F(Xo) .

Находим первую производную - k - наклон касательной.

F'(x) = 3*x² + 12*х - 15.

Вычисляем в точке Хо = 1.

F'(1) = 0 и F(1) = -11.

Записываем уравнения прямой.

Y(х) = - 11 - касательная - ответ.

Рисунок к задаче в приложении.

Рисунок к задаче в приложении.