Question

СРОЧНО
Докажите, что при любом натуральном n выражение
${4}^{n} + 6n - 1$
кратно 9

Answer 1

4^n + 6n - 1 применим метод математической индукции

1. n=1  4+6-1=9 да

2. предположим, что верно для n=k

4^k + 6k - 1 верно

3. докажем для n=k+1

4^(k+1) + 6(k+1) - 1 = 4*4^k + 6k + 6 - 1 = (4^k + 6k - 1) + 3*(4^k+2)

первая скобка делится на 9 по 2. надо доказать что 4^k+2 делится на 3

===============================================

Опять применим ММИ

1. k=1 4+2=6 делится на 3

2. предположим верно при k=m

4^m+2 делится на 3

3/ докажем k=m+1   4^(m+1)+2 = (4^m+2) + 3*4^m первая скобка на 3 делится по 2. второй член делится так как один из множителей кратен 3

==============================================

Итак 3*(4^k+2) кратен 9 так как скобка кратна 3 и один из членов тоже кратен 3 итого 3*3 кратно 9

доказали