Question

2log$\frac{3}{2}$x - 15log$\frac{2}{2}$x + 36log₂x = f(x)

Найти наименьшее значение функции на отрезке [4;16]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть log(2)x=t. Так как на отрезке [4;16] log(2)x>0, то и t>0. Поэтому исследуем на экстремум функцию f(t)=2*t³-15*t²+36*t. Находя её производную f'(t)=6*t²-30*t+36=6*(t²-5*t+6) и приравнивая её к нулю, получаем уравнение t²-5*t+6=(t-2)*(t-3)=0, откуда t=2 либо t=3. Интервал (-∞;2) мы не рассматриваем, так как при t<2 x<2²=4, а нас интересует лишь интервал [4;16]. Если 2<t<3, то f'(t)<0, так что на этом интервале функция f(t) убывает. Если t>3, то f'(t)>0, поэтому на интервале (3;∞) функция f(t) возрастает. Значит, точка t=3 является точкой минимума, и наименьшее значение функции f(3)=2*3³-15*3²+36*3=27. Ответ: 27.