Question

Выберите подходящую тригонометрическую подстановку для вычисления интеграла.

Answer 1

ответ 2/sin t
чуть позже скину само решение

Answer 2

$\int x\sqrt{x^2-4}\, dx=[\; x=\frac{2}{sint}\; ,\; dx=-\frac{2cost\, dt}{sin^2t}\; ,\; x^2-4=\frac{4}{sin^2t}-4=4ctg^2t\, ]=\\\\=\int \frac{2}{sint}\cdot 2ctgt\cdot \frac{-2\, cost}{sin^2t}\, dt=-8\int \frac{cos^2t}{sin^4t}\, dt=8\int \frac{cos^2t}{sin^2t}\cdot \frac{-dt}{sin^2t}=\\\\=8\int ctg^2t\cdot d(ctgt)=8\cdot \frac{ctg^3t}{3}+C=\frac{8}{3}\cdot ctg^3(arcsin\frac{2}{x})+C=\\\\=\frac{8}{3}\cdot \frac{\sqrt{(x^2-4)^3}}{8}+C=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{(x^2-4)^3}+C\; .$