Question

На каком расстоянии d от линзы следует поместить предмет, чтобы расстояние между предметом и его действительным изображением было наименьшим? Фокусное расстояние линзы F = 10 см.

Answer 1

Предполагаю, что линза собирающая, т.к. для рассеивающей изображение только виртуальное.

Пусть расстояние между предметом и изображением равно а, расстояние от предмета до линза d, тогда расстояние от линзы до изображения d-a.

из выражения $\frac{1}{d}+\frac{1}{a-d} = \frac{1}{f} = \frac{1}{10}$ получаем:

$\frac{1}{10} = \frac{a - d + d}{d \cdot (a-d)} = \frac{a}{d \cdot (a-d)}$

или $10 a = (a-d) \cdot d = a\cdot d - d^2$.

$a = \frac{d^2}{d-10}$

Производная от а по d: $a' = \frac{2d (d-10) - d^2}{(d-10)^2} = \frac{d^2-20d}{(d-10)^2}$

Поскольку d не может быть равно 0, d = 20 cm или двойному фокусному расстоянию.