Question

Шары расположены в треугольной форме , так что в первом ряду 1 шар , во втором - два , в третьем - три и т.д. во скольких рядях расположены 15 шаров ?

написать решение

Answer 1

Можно непосредственно начать сложение до тех пор пока не получится число 15: один ряд: 1, два ряда 1+2=3, три ряда 3+3=6, четыре ряда 6+4=10, пять рядов 10+5=15 - значит 15 шаров располагаются в 5 рядах.

Решим задачу строго, так как на больших числах такой метод не рационален.

Такое расположение шаров можно интерпретировать как арифметическую прогрессию.

Первый ряд - 1 шар - первый член

Второй ряд - 2 шара - второй член

Третий ряд - 3 шара - третий член и так далее

Таким образом, в арифметической прогрессии первый член равен 1, разность равна 1. Нужно найти, сумма первых скольки членов равна 15.

Запишем формулу для суммы первых n членов:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n$

$\dfrac{2\cdot1+1\cdot(n-1)}{2} \cdot n=15$

$\dfrac{2+n-1}{2} \cdot n=15$

$\dfrac{n+1}{2} \cdot n=15$

$(n+1)n=30$

$n^2+n-30=0$

$D=1^2-4\cdot1\cdot(-30)=121$

$n=\dfrac{-1-11}{2} =-6$ - не удовлетворяет смыслу задачи

$n=\dfrac{-1+11}{2} =5$

Значит 15 шаров располагаются в 5 рядах.

Ответ: 5