Question

Подробное решение обязательно!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Найдите значение производной первого порядка для функции у = f (x), заданной неявно уравнением $e^{xy} -x^{2} +y^{3} =0$ в точке О(0; -1)

Answer 1

Ответ:

y'(0)=1/3

Пошаговое объяснение:

Найдите значение производной первого порядка для функции у = f (x), заданной неявно уравнением  $e^{xy}-x^2+y^3=0$в точке О(0; -1)

дифференцируем обе части уравнения

$(e^{xy}-x^2+y^3)'=(0)'$

$(e^{xy})'-(x^2)'+(y^3)'=0$

$e^{xy}\cdot(xy)'-2x+3y^2 \cdot y'=0$

$e^{xy}\cdot(y+x\cdot y')-2x+3y^2 \cdot y'=0$

$ye^{xy}+x\cdot y' \cdot e^{xy}-2x+3y^2 \cdot y'=0$

Из последнего уравнения выражаем y'

$x\cdot y' \cdot e^{xy}+3y^2 \cdot y'=2x-ye^{xy}$

$y'(x\cdot e^{xy}+3y^2)=2x-ye^{xy}$

$y'=\frac{2x-ye^{xy}}{x\cdot e^{xy}+3y^2}$

Подставляем в полученное уравнение координаты точки O(0;-1)

$y'=\frac{2\cdot 0-(-1)\cdot e^{0\cdot (-1)}}{0\cdot e^{0\cdot(-1)}+3\cdot(-1)^2}=\frac{0+1\cdot1}{0\cdot1+3\cdot1}=\frac{1}{3}$