Question

9 класс, 100 баллов, геометрическая прогрессия

Answer 1

4. Дано: $\tt b_1=3x-5; \ \ b_2=2x; \ \ b_3=3x$

Найти: х

По свойству геометрической прогрессии:

$\displaystyle\tt {b_2}^2=b_1\cdot b_3\\ (2x)^2=(3x-5)\cdot3x\\4x^2=9x^2-15x\\5x^2-15x=0\\5x(x-3)=0\\1) \ 5x=0\\{} \ \ \ \ \ x=0 \ \ \ \O\\ 2) \ x-3=0\\{} \ \ \ \ x=3$

Ответ: х = 3.

5. Дано: b₁ = 2;   b₃ - b₂ = 12

Найти: b₂;  b₃

$\tt b_3-b_2=12\\b_1q^2-b_1q-12=0\\2q^2-2q-12=0 \ \ |:2\\q^2-q-6=0\\D=1+24=25=5^2\\q_1=\cfrac{1-5}{2}=-2 \ \ \ \O \\ q_2=\cfrac{1+5}{2}=3\\\\\\ b_2=b_1q=2\cdot3=6\\b_3=b_1q^2=2\cdot9=18$

Ответ:  b₂ = 6;  b₃ = 18.

6.

$\displaystyle\tt \left \{ {{b_1+b_4=252} \atop {b_2+b_3=60 \ }} \right. \ \Rightarrow \ \left \{ {{b_1+b_1q^3=252} \atop {b_1q+b_1q^2=60}}\ \Rightarrow \ \left \{ {{b_1(1+q^3)=252} \atop {b_1q(1+q)=60}}$

Из нижнего уравнения:   $\displaystyle\tt b_1=\frac{60}{q(1+q)}$

Подставим в верхнее:

$\displaystyle\tt \frac{60(1+q^3)}{q(1+q)}=252; \ \ q\neq0; \ q\neq -1\\\\\\ \frac{60(1+q)(1-q+q^2)}{q(1+q)}=252\\\\\\ \frac{60(1-q+q^2)}{q}=252\\\\ 60-60q+60q^2=252q\\\\60q^2-312q+60=0 \ \ |:12\\\\5q^2-26q+5=0\\\\ D=676-100=576=24^2\\\\ q_1=\frac{26-24}{2\cdot5}=0.2\\\\ q_2=\frac{26+24}{2\cdot5}=5$

Получаем две прогрессии:

убывающая (q=0.2)

$\tt b_1=\cfrac{60}{q(1+q)}=\cfrac{60}{0.2(1+0.2)}=250\\\\b_2=b_1q=250\cdot 0.2=50\\\\ b_3=b_2q=50\cdot 0.2=10\\\\ b_4=b_3q=10\cdot 0.2=2$

возрастающая (q=5)

$\tt b_1=\cfrac{60}{q(1+q)}=\cfrac{60}{5(1+5)}=2\\\\b_2=b_1q=2\cdot 5=10\\\\ b_3=b_2q=10\cdot 5=50\\\\ b_4=b_3q=50\cdot 5=250$