Question

Помогите решить задачи по геометрии!
1)ABCDA1B1C1D1- прямоугольный параллелепипед, где ABCD квадрат со стороной 4 см, СС1=5 см. Найдите:длину диагонали B1D.
2)Из точки А к плоскости а проведен перпендикуляр АО и две наклонные АВ и АС. Найдите длину наклонной АС, если АВ=13 см и проекции этих наклонных равны: ВО=12 см, СО=9 см.
3)Из точки А к данной плоскости а проведены перпендикуляр АО и две наклонные АВ и АС, СО=4 см, угол АВО=30°, угол АСО=60°, а угол между наклонными 90°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Answer 1

Ответ:

1) BD = √57 см

2) АС = √106 см

3) ВС = 16 см

Объяснение:

1)

Пространственная теорема Пифагора:

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Основание - квадрат, значит, DC = AD = 4 см.

B₁D² = AD² + DC² + CC₁²

BD² = 4² + 4² + 5² = 16 + 16 + 25 = 57

BD = √57 см

2)

ΔАОВ:  ∠АОВ = 90°

по теореме Пифагора

АО = √(АВ² - ВО²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см

ΔАОС:   ∠АОС = 90°

по теореме Пифагора

АС = √(АО² + СО²) = √(5² + 9²) = √(25 + 81) = √106 см

3)

В и С - основания наклонных,

найти ВС.

ΔАОС:  ∠АОС = 90°,

$\cos\angle ACO=\dfrac{CO}{AC}$

$\boldsymbol{AC}=\dfrac{CO}{\cos60^\circ}=\dfrac{4}{\frac{1}{2}}=\boldsymbol{8}$ см

$\sin\angle ACO=\dfrac{AO}{AC}$

$AO=AC\cdot \sin60^\circ=8\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ см

ΔАОВ:  ∠АОВ = 90°, ∠АВО = 30°, ⇒

АВ = 2АО = 2 · 4√3 = 8√3 см по свойству катета, лежащего против угла в 30°.

ΔАВС: ВАС = 90° по условию (угол между наклонными),

По теореме Пифагора

ВС = √(АВ² + АС²) = √((8√3)² + 8²) = √(192 + 64) = √256 = 16 см