Question

показать что векторы а1, а2, а3 образуют базис в R^3 и разложить вектор а4 по этому базису
а1(2;1;4), а2(-3;5;1), а3=(1;-4;-3); а4=(2;-5;-4)

Answer 1

$\vec{a}_1=(2,1,4)\; ,\; \vec{a}_2=(-3,5,1)\; ,\; \vec{a}_3=(1,-4,-3)\; ,\; \vec{a}_4=(2,-5,-4)\\\\\\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)=\left|\begin{array}{ccc}2&1&4\\-3&5&1\\1&-4&-3\end{array}\right|=2\cdot (-15+4)-(9-1)+4\cdot (12-5)=-2\ne 0$

Так как определитель не равен нулю, то векторы не компланарны (не лежат в одной плоскости), значит они образуют базис.

Если вектор $\vec{a}_4$  разложить по базису  $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$  , то можно записать:

$\vec{a}_4=\alpha \cdot \vec{a}_1+\beta \cdot \vec{a}_2+\gamma \cdot \vec{a}_3$

Такой же линейной зависимостью будут связаны и координаты этих векторов. Это можно записать с помощью системы:

$\left\{\begin{array}{c}2\alpha -3\beta +\gamma =2\\\alpha +5\beta +4\gamma =-5\\4\alpha+\beta -3\gamma =-4\end{array}\right \; \; \left(\begin{array}{cccc}1&5&4&|-5\\2&-3&1&|\; \; \; 2\\4&1&-3&|-4\end{array}\right)\sim \\\\\\1str\cdot (-2)+2str\; \; ,\; \; 2str\cdot (-2)+3str\; \; ,\\\\\sim \left(\begin{array}{cccc}1&5&4&|-5\\0&-13&-7&|\; \; 12\\0&7&-5&|-8\end{array}\right)\sim\; \; 2str\cdot 7+3str\cdot 13\; \sim \left(\begin{array}{cccc}1&5&4&|-5\\0&-13&-7&|\; 12\\0&0&-114&|-20\end{array}\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\alpha +5\beta +4\gamma =-5\\-13\beta -7\gamma =12\\-114\gamma=-20\end{array}\right \; \; \left\{\begin{array}{c}\alpha =-5-5\beta -4\gamma \\-13\beta =12+7\cdot \frac{10}{57}\\\gamma =\frac{10}{57}\end{array}\right \\\\\\\left\{\begin{array}{c}\alpha =-5+\frac{5\cdot 58}{57}-\frac{4\cdot 10}{57}\\\beta =-\frac{58}{57}\\\gamma =\frac{10}{57}\end{array}\right\; \; \; \left\{\begin{array}{ccc}\alpha =-\frac{35}{57}\\\beta =-\frac{58}{57}\\\gamma =\frac{10}{57}\end{array}\right$

$\vec{a}_4=-\frac{35}{57}\, \vec{a}_1-\frac{58}{57}\, \vec{a}_2+\frac{10}{57}\, \vec{a}_3$