Question

найти интеграл от икса умноженного на арксинус икс

Answer 1

∫(x*arcsin(x)dx

Пусть

   u=arcsin(x)       du=dx/√(1-x^2)

  dv=xdx              v=x^2/2

Далее интегрируем по частям

 ∫(x*arcsin(x)dx=x^2*arcsin(x)/2  -(1/2)*∫(x²dx/√(1-x²)=

Пусть

   x=sin(t)

   dx=cos(t)

=x²*arcsin(x)/2  -(1/2)*∫(sin²(u)cos(u)du/√(1-sin²(u))=

=x²*arcsin(x)/2  -(1/2)*∫(sin²(u)cos(u)du/cos(u))=

=x²*arcsin(x)/2  -(1/2)*∫(sin²(u)du=

=x²*arcsin(x)/2  -(1/4)*∫(1-cos(2u)du=

=x²*arcsin(x)/2  -du/4 +(1/4)*∫cos(2u)du=

=x²*arcsin(x)/2  -u/4 +(1/8)*sin(2u)+c=

=x²*arcsin(x)/2  -arcsin(x)/4 +(x*√(1-x²)/4)*sin(2u)+c