Question

11 класс.
Найти площади фигур, ограниченных следующими линиями. Постройте соответствующие рисунки по данным:
y=x², y=2√2 x

Answer 1

Извините, на графике написал y = 2√x, но в вычислениях я учитывал именно то, что дано в условии. В интегралах не нужны точные графики, а 2√x примерно равен √x.

$\tt\displaystyle x^2 = 2\sqrt{2x}\\\\x^4 = 4\cdot 2x\\\\x^4 - 8x = 0\\\\x(x^3 - 8) = 0\\\\x = 0 ~~~~~~x^3 - 8 = 0\\\\x = 0~~(b) ~~~~~~x = 2 ~~(a)\\\\\\S_{\displaystyle OmAn} = \int\limits^2_0 {2\sqrt{2x}} \, dx - \int\limits^2_0 {x^2} \, dx = 2\cdot\sqrt{2}\cdot\int\limits^2_0 {x^{\frac{1}{2}}} \, dx -\int\limits^2_0 {x^2} \, dx=\\\\\\2\cdot\sqrt{2}\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg |^2_0 - \frac{x^3}{3}\bigg |^2_0=\frac{4\sqrt{2x^3}}{3}\bigg |^2_0 - \frac{x^3}{3}\bigg |^2_0=$

$\tt\displaystyle=\bigg(\frac{4\sqrt{16}}{3} - 0\bigg)-\bigg(\frac{8}{3} - 0\bigg)=\frac{4\cdot 4 - 8}{3}=\boxed{\tt\frac{8}{3}}$

Ответ

⁸/₃ или 2.6