Question

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) , проведенной через точку с абциссой
$x0 = 1 \\ y = 3 - \frac{x}{x - 2}$

Answer 1

Воспользуемся формулой уравнения касательной к графику:

y = y(x) - y'(x)(x - x₀)

$\tt\displaystyley(x) = 3 - \frac{x}{x - 2}\\\\\\y'(x) = 0-\frac{x'\cdot (x - 2) - x\cdot(x - 2)'}{(x - 2)^2}=-\frac{x - 2 - x}{(x - 2)^2}=\frac{2}{(x - 2)^2}$

Подставим найденные выражения в формулу уравнения касательной к графику:

$\tt\displaystyle y = y(x) - y'(x)(x - x_0)\\\\\\y = 3 - \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{(x - 2)^2}\cdot(x - 1) =\\\\\\ 3 - \frac{3\cdot(x - 2) - 2\cdot (x - 1)}{(x - 2)^2}=\frac{3(x - 2)^2 - 3x + 6 - 2x + 2}{(x - 2)^2}=\\\\\\=\frac{3x^2-17x+20}{(x - 2)^2}$