Question

Помогите пожалуйста решить задачу Коши: y'''+2y''-15y'=0 , y(0)=0, y'(0)=3, y''(0)=5

Answer 1

Ответ:

$y=-11/15-0.1*e^{-5x} +5/6*e^{3x}$

Пошаговое объяснение:

1) Составим характеристическое уравнение (степень производной соответствует степени k):

$k^{3} +2k^{2} -15k=k(k^{2}+2k-15)=k(k+5)(k-3)=0$

Корни характеристического уравнения:

k1=0, k2=-5, k3=3.

Общее решение уравнения:

$y=C1*e^{0x} +C2*e^{-5x} +C3*e^{3x}=C1+C2*e^{-5x}+C3*e^{3x}$

2) Ищем решение, учитывая задачу Коши:

$y(0)=0=C1+C2+C3\\y'=-5*C2*e^{-5x} +3*C3*e^{3x} , y'(0)=3=-5*C2+3C3\\y''=25*C2*e^{-5x} +9*C3*e^{3x} , y''(0)=5=25*C2+9*C3$

Решаем систему с неизвестными C1, C2, C3 любым удобным способом. Например, методом Крамера:

C1+C2+C3=0,

-5C2+3C3=3,

25C2+9C3=5;

$det\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-5&3\\0&25&9\end{array}\right] =det\left[\begin{array}{ccc}-5&3\\25&9\end{array}\right] =-45-75=-120$

$det1\left[\begin{array}{ccc}0&1&1\\3&-5&3\\5&25&9\end{array}\right] =88\\C1=-88/120=-11/15$

$det2\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&3&3\\0&5&9\end{array}\right] =12,\\C2=-12/120=-0.1$

$det3\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&-5&3\\0&25&5\end{array}\right] =-100,\\C3=-100/-120=5/6$

Подставляем найденные константы в общее решение уравнения:

$y=-11/15-0.1*e^{-5x} +5/6*e^{3x}$