Question

найти первообразную, 11 класс

Answer 1

$1.\\\int\limits {(cos(6x)\cdot cos(x) + sin(6x)\cdot sin(x))} \, dx= \int\limits{cos(6x-x)} \, dx= \\\\= \int\limits {cos(5x)} \, dx= \frac{1}{5}sin(5x)+C\\\\2.\\\int\limits {sin^2(5x)} \, dx= \int\limits {\frac{1 - cos(10x)}{2}} \, dx= \frac{1}{2}\int\limits {(1-cos(10x))} \, dx=\\\\= \frac{1}{2} \int \limits dx - \frac{1}{2}\int \limits {cos(10x)} \, dx= \frac{x}{2} - \frac{sin(10x)}{20} + C$

Для того, чтобы найти первообразную под цифрой 3, вспомним, что производная $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, значит    $\int\limits {\frac{1}{2\sqrt x}} \, dx = \sqrt x +C$

Answer 2

$1)\; \; F(x)=\int (cos6x\, cosx+sin6x\, sinx)dx=\int cos(6x-x)dx=\\\\=\int cos5x\, dx=\frac{1}{5}\, sin5x+C\\\\2)\; \; F(x)=\int sin^25x\, dx=\int \frac{1-cos10x}{2}\, dx=\frac{1}{2}\cdot (x-\frac{1}{10}\, sin10x)+C\\\\3)\; \; F(x)=\int \frac{dx}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\int x^{-1/2}\, dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{1/2}}{1/2}+C=\sqrt{x}+C\\\\\\\star \; \; \int cos(kx+b)dx=\frac{1}{k}\cdot sin(kx+b)+C\; ;\; \; \; sin^2\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}\; \; \star$