Question

98 Балів!!!!!Всім охочим допомогти Бали!!!!!!!Допоможіть всііііі!!!!
Комплексні числа.

Потрібно в:

1)Виконати дії;

2)піднести до степеня;

3)добути корінь;

Answer 1

$1)\; \; i+\frac{1+6i}{1-7i}=i+\frac{(1+6i)(1+7i)}{1-49i^2}=i+\frac{1+13i-42}{1+49}=i-\frac{41}{50}+\frac{13}{50}\, i=\\\\=-\frac{41}{50}+\frac{63}{50}\, i\\\\2)\; \; z=(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\, i)^3\\\\|z|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{12}{4}}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3\\\\arctg\varphi =\frac{-\sqrt3/2}{3/2}=-\frac{\sqrt3}{3}\; \; ,\; \; \varphi =-\frac{\pi }{6}\\\\z=\sqrt3\cdot (cos(-\frac{\pi }{6})+i\, sin(-\frac{\pi }{6}))\\\\z^3=\sqrt{3^3}\cdot (cos(-\frac{3\pi }{6})+i\, sin(-\frac{3\pi }{6}))=3\sqrt{3}\cdot (cos(-\frac{\pi}{2})+i\, sin (-\frac{\pi}{2}))$

$z^3=3\sqrt3\cdot (0+i\cdot (-1))=-3\sqrt3\, i\\\\3)\; \; w=\sqrt{7+24\, i}\\\\z=7+24i\; ,\; \; |z|=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25\; ,\\\\arctg\varphi =\frac{24}{7}\; \; ,\; \; \varphi =argz=arctg\frac{24}{7}\\\\z=25\cdot (cos(arctg\frac{24}{7})+i\, sin(arctg\frac{24}{7}))\\\\w_{k}=\sqrt{z}=\sqrt{|z|}\cdot (cos\frac{\varphi +2\pi k}{2}+i\, sin\frac{\varphi +2\pi k}{2})\; ,\; \; k=0,1\, .\\\\k=0:\; \; w_0=5\cdot (cos(\frac{1}{2}arctg\frac{24}{7})+i\, sin(\frac{1}{2}arctg\frac{24}{2}))\\\\k=1:\; \; w_1=5\cdot (cos\frac{arctg\frac{24}{7}+2\pi }{2}+i\, sin\frac{arctg\frac{24}{7}+2\pi }{2})$