Question

объясните как решать

Answer 1

1. Для начала перенесем все в левую сторону и приведем к одному знаменателю
$frac{4(x+9)-4(3-x)- (9-x^{2}) }{4(3+x)(3-x)} >0$
тк неравенство строгое достаточно числитель умножить на знаменатель и приравнять нулю
$4(4x+36-12+4x-9+ x^{2} )(3-x)(3+x)>0$
$-( x^{2} +8x+15)(x+3)(x-3)>0$
Первую скобку разложим на множители, для этого решим уравнение
$x^{2} +8x+15=0$
По т.Виета
$x_{1} =-5$
$x_{2} =-3$ 
Те $x^{2} +8x+15=(x+5)(x+3)$
$(x+5)(x+3)(x-3)(x+3)<0$
(Не забываем поменять знак неравенства при умножении на отрицательное число)
$(x+5)(x-3) (x+3)^{2} <0$
Заметим, что все точки выколотые, тк неравенство строгое
____-5____-3_______3______
+         -           -            +
Расставим знаки на промежутках. Справа налево +, -,(тк х+3 в квадрате, то около точки -3 знак не поменяется)-, +
Нас интересуют промежутки с -, тк последнее неравенство <0
Ответ (-5;-3) и (-3;3)
2.Разложим все квадратные трехчлены на множители, найдя корни  по т Виета
$x^{2} -10x+16=(x-8)(x-2)$
$x^{2} -10x+24=(x-4)(x-6)$
$x^{2} -6x+8=(x-4)(x-2)$
$frac{ x^{2} ( (x-8)^{2} (x-2)^{2}(x-4)(x-6) )}{(x-4)(x-2)} leq 0$
Тк неравенство нестрогое, то надо исключить те значения, при которых знаменатель равен 0 (тк на 0 делить нельзя)
$left { {{x^{2} (x-8)^{2} ( x-2)^{2}(x-6)(x-4)(x-2) leq 0 } atop {x neq 4\ {x neq 2}} right. }} right.$
 $x^{2}( x-8)^{2}( x-2)^{3} (x-4)^{2} (x-6) leq 0$
Отметим на числовой прямой точки 0, 6,8-закрашенные, 2,4-выколотые( не входят в ОДЗ из второго неравенства)
___0___2___4___6___8___
  +    +      -     -      +     +
Около точек 0, 4, 8 знак не меняется, тк скобки в четной степени,если скобка в нечетной степени (1,3,5,7 и тд), то знаки чередуются
Нас интересуют промежутки с -(тк неравенство$leq$0)
Ответ $(2;4)$ и $(4; 6)$
3.Разложим знаменатели на множители
$( x^{2} -6x+9)( x^{2} -7x+10)= (x-3)^{2}(x-5) (x-2)$
$-( x^{2} -8x+15)=-(x-5)(x-3)$
Приведем к одному знаменателю
$frac{7x-6+(x-5)(x-2)}{ (x-3)^{2}(x-5)(x-2) } leq 0$
$frac{7x-6+ x^{2} -5x+6}{ (x-2)(x-3)^{2}(x-5) } leq 0$
Перейдем к системе $left { {{x(x+2)(x-2) (x-3)^{2} (x-5) leq 0} atop { (x-3)^{2}(x-2)(x-5) neq 0 }} right.$
Отметим на числовой прямой точки 0,-2-закрашенные, 2,3,5-выколотые
____-2___0____2_____3____5____
   +      -       +      -         -        +
Ответ $[-2;0)$      $(2;3)$     $(3;5)$
4. Решим каждое неравенство отдельно
$16- x^{2} geq 0$
$-(x+4)(x-4) geq 0$
$(x+4)(x-4) leq 0$
$[-4;4]$
$x^{2} +6x>0$
$x(x+6)>0$
$(-infty;-6)$   и $(0;+infty)$
$x^{2} -x-2>0$
$(x-2)(x+1)>0$
$(-infty;-1)$ и $(2; +infty)$
Найдем пересечение всех решений
Ответ $(2;4]$