Question

Сумма первого и четвёртого членов в геометрической прогрессии равна 35, а сумма второго и третьего членов- 30 найдите кратность прогрессии

Answer 1

$\begin{cases}b_1+b_4=35\\b_2+b_3=30\end{cases}\\b_2=b_1q,\;b_3=b_1q^2,\;b_4=b_1q^3\\\\\begin{cases}b_1+b_1q^3=35\\b_1q+b_1q^2=30\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1(1+q^3)=35\\b_1q(1+q)=30\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1=\frac{35}{1+q^3}\\\frac{35q(q+1)}{1+q^3}=30\end{cases}\\\\\frac{35q(q+1)}{1+q^3}=30\\\frac{7q(q+1)}{(q+1)(q^2-q+1)}=6\\\frac{7q}{q^2-q+1}=6\\7q=6q^2-6q+6\\6q^2-13q+6=0\\D=169-4\cdot6\cdot6=169-144=25\\q_{1,2}=\frac{13\pm5}{12}\\q_1=\frac8{12}=\frac23\\q_2=\frac{18}{12}=\frac32=1,5$