Question

Найдите наибольшее значение выражения:
1) sqrt (2) sinx+sqrt (6) cosx ;
2) 3sinx+4cosx;
3) 2siny-5cosy;

Answer 1

Воспользуемся методом введения вспомогательного угла:

1) √2sinx + √6cosx = ...

√(2 + 6) = √8 = 2√2

... = √8(sinx·cos(arccos(1/2) + cosx·sin(arccos(1/2)) = √8sin(x + π/3)

-1 ≤ sin(x + π/3) ≤ 1

-√8 ≤ √8sin(x + π/3) ≤ √8 ⇒ max = √8;

2) 3sinx + 4cosx = 5(sinx·cos(arccos(3/5) + cos·sin(arccos(3/5)) = 5sinx(x + arccos(3/5))

-1 ≤ sinx(x + arccos(3/5))  ≤ 1

-5 ≤ 5sinx(x + arccos(3/5)) ≤ 5 ⇒ max = 5

3) 2siny - 5cosy = √29(siny·cos(arccos(2/√29) + cosy·sin(arccos(5/√29)

max = √29

P.s.: нужно воспользоваться тем, что синус принимает значения на отрезке [-1; 1], а также, что выражение вида Asinx + Bcosy можно привести к виду:

$Asinx + Bcosx = \sqrt{A^2 + B^2} sin(x + arccos\dfrac{A}{\sqrt{A^2 + B^2} } )$