Question

Срочно! Даю 25 баллов за уравнение! Только с объяснением!

Answer 1

$\sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2;\ \sqrt[4]{x+8}=a;\ \sqrt[4]{x-8}=b;\ \left \{ {a-b=2} \atop {a^4-b^4=16}} \right.;\ \left \{ {{a-b=2} \atop {(a^2-b^2)(a^2+b^2)=16}} \right.;$

$\left \{ {{a-b=2} \atop {(a-b)(a+b)(a^2+b^2)=16}} \right.;\ \left \{ {{a=b+2} \atop {2(2b+2)(2b^2+4b+4)=16}} \right.;\ \left \{ {{a=b+2} \atop {(b+1)((b+1)^2+1)=2}} \right..$

Решим второе уравнение. Замена b+1=c; $c(c^2+1)=2;\ c^3+c-2=0;\ (c^3-1)+(c-1)=0;\ (c-1)(c^2+c+1)+(c-1)=0;$

$(c-1)(c^2+c+2)=0.$ Поскольку дискриминант квадратного трехчлена во второй скобке отрицателен, эта скобка в ноль не обращается. Поэтому единственное решение c=1; b=0; x=8.

Проверка: 2-0=0 - верно.

Ответ: 8

Замечание. Можно было кубическое уравнение относительно c не решать, а угадать c=1, после чего сослаться на монотонность левой части.