Question

4sin^2(x)+9cos(x)+5=0

Answer 1

Ответ:

$x = (-1)^{n+1}arcsin\frac{3}{4}+\pi n,\; n \in Z$

Пошаговое объяснение:

$4sin^2x + 9cosx +5 =0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$sin^2x+cos^2x = 1 \Rightarrow sin^2x = 1-cos^2x$

Подставим 1 - cos²x вместо sin²x

$4(1-cos^2x) +9cosx+5 = 0\\\\4 - 4cos^2x + 9cosx + 5 =0\\\\-4cos^2x + 9cosx+9 = 0\\\\4cos^2x - 9cosx - 9 = 0$

Сделаем замену t = cos(x), t∈[-1, 1] - область значений косинуса

$4t^2-9t -9=0\\D = 81 + 4\cdot 4 \cdot 9 = 81 +144 = 225\\\\t_1 = \frac{9+15}{8} = \frac{24}{8} = 3 > 1\\\\t_2 = \frac{9-15}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$

Вернём замену:

$sin (x) = -\frac{3}{4}\\\\x = (-1)^{n+1}arcsin\frac{3}{4}+\pi n,\; n \in Z$