Question

Решите все кому не трудно

Answer 1

Задание 1 (а)

Воспользуемся формулой косинуса разности аргументов:

cos(α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ

cos(93° - 48°) = cos45° = √2/2

Задание 1 (б)

Воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму:

sinα · cosβ = 1/2(sin(α + β) + sin(a - β))

а также формулой преобразования разности в произведение:

$\tt\displaystyle sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin\bigg(\frac{\alpha - \beta}{2}\bigg)cos\bigg(\frac{\alpha + \beta}{2}\bigg)$

sin162° · cos12° + sin12° · cos18° =

1/2 · (sin174° + sin150°) + 1/2 · (sin30° + sin(-6°)) =

1/2 · (sin174° + sin(90° + 60°)) + 1/2 · (1/2 - sin6°) =

1/2 · sin174° + 1/2 · 1/2 + 1/4 - 1/2 · sin6° =

(sin174° - sin6°)/2 + 1/4 + 1/4 =

2 · sin84° · cos90° / 2 + 2/4 =

1/2

Задание 2

3sin²2β · cos²2β =

3sin²2β · (1 - sin²2β) =

3sin²2β - 3sin⁴2β =

3sin²2β · (1 - sin²2β)

Задание 3

Не написано, что именно нужно найти, поэтому нашёл cosα, tgα и ctgα. Если нужно найти sin2α, cos2α, tg2α или ctg2α, то просто воспользуйся формулой двойного угла. Если появится неизвестная запись, типа sin(α ± β), cos(α ± β), tg(α ± β) или ctg(α ± β), то также распиши сумму/разность синуса, косинуса, тангенса или котангенса.

$\tt\displaystyle sin(\alpha) = \frac{8}{17}\\\\\\cos(\alpha) = \pm\sqrt{1 - sin(\alpha)} = \pm\sqrt{1 - \bigg(\frac{8}{17}\bigg)^2}=\pm\sqrt{\frac{289 - 64}{289}}=\frac{15}{17}\\\\\\tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}=\frac{\displaystyle \frac{8}{17}}{\displaystyle\frac{15}{17}}=\frac{8}{15}\\\\\\ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)} = \frac{15}{8}$

Задание 4

Воспользуемся формулой синуса суммы/разности и косинуса суммы/разности:

$\tt\displaystyle \frac{sin(\alpha)\cdot cos(\beta) + cos(\alpha)\cdot sin(\beta) + sin(\alpha)\cdot cos(\beta) - cos(\alpha)\cdot sin(\beta)}{cos(\alpha)\cdot cos(\beta) - sin(\alpha)\cdot sin(\beta) + cos(\alpha)\cdot cos(\beta) + sin(\alpha)\cdot sin(\beta)}=\\\\\\=\frac{2sin(\alpha)\cdot cos(\beta)}{2\cos(\alpha)\cdot cos(\beta)} = tg(\alpha)$

Задание 5

$\tt\displaystyle ctg(\alpha) = \frac{2\sqrt{3}}{3}\implies tg(\alpha) = \frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\tg^2(\alpha) + 1 = \frac{1}{cos^2(\alpha)}\\\\\\\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{cos^2{\alpha}}\\\\\\\frac{7}{4}=\frac{1}{cos^2{\alpha}}\\\\\\cos^2(\alpha)=\frac{4}{7}\implies \boxed{\tt cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{7}}{7}}$

$\tt\displaystyle sin(\alpha) = \sqrt{1 - \bigg(\frac{2\sqrt{7}}{7}\bigg)^2}=\sqrt{1 - \frac{4\cdot 7}{49}} = \frac{\sqrt{21}}{7}\\\\\\cos\bigg(\frac{\pi}{3}+2\alpha\bigg) = cos\frac{\pi}{3}\cdot cos(2\alpha) - sin\frac{\pi}{3}\cdot sin(2\alpha)=\frac{1}{2}\cdot cos(2\alpha) -\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot sin(2\alpha) =\\\\\\= \frac{cos(2\alpha) - \sqrt{3}\cdot sin(2\alpha)}{2}=\frac{cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) - \sqrt{3}\cdot2\cdot sin(\alpha)\cdot cos(\alpha)}{2}=$

$\tt\displaystyle =\frac{\displaystyle\frac{29}{49}-\frac{21}{49} -\sqrt{3}\cdot 2\cdot\frac{\sqrt{21}}{7}\cdot\frac{2\sqrt{7}}{7}}{2}=\\\\\\=-\frac{38}{49}$