Question

знайти значення виразу 2^x якщо 2^2-x - 2^x-1 = 1

Answer 1

$\tt\displaystyle 2^{2 - x} - 2^{x - 1} = 1\\\\\\\frac{2^2}{2^x}-\frac{2^x}{2^1}=1\\\\\\\frac{8 - 2^{2x}}{2\cdot2^x}-1=0\\\\\\\frac{8 - 2^{2x} - 2\cdot 2^x}{2\cdot2^x} = 0$

Данная дробь равна нулю только в том случае, когда числитель равен нулю (так как знаменатель никогда не может равняться нулю из свойств степеней)

$\tt\displaystyle 8 - 2^{2x} - 2\cdot 2^x~~~~~~~~~~2^x = t, ~~~~D(t): t>0\\\\\\8 - t^2 - 2t = 0\\\\\\-t^2 - 2t + 8 = 0\\\\\\t^2 + 2t - 8 = 0~~~~~~~~~~~D = b^2 - 4\cdot a\cdot c = 4 + 4\cdot 1\cdot 8 = 36 = 6^2\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~t_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2\cdot a}=\frac{-2 \pm 6}{2}=-4 \notin D(t);~2\\\\\\\boxed{2^x = 2}$

Answer 2

$2^{2-x}-2^{x-1}=1\\\\2^{2}*2^{-x}-2^{x}*2^{-1}=1\\\\\frac{4}{2^{x} }-0,5*2^{x}-1=0\\\\2^{x}=m,m>0\\\\\frac{4}{m}-\frac{1}{2}m-1=0\\\\8-m^{2}-2m=0\\\\m^{2}+2m-8=0\\\\D=2^{2}-4*(-8)=4+32=36=6^{2}\\\\m_{1}=\frac{-2+6}{2}=2\\\\m_{2}=\frac{-2-6}{2}=-4\\\\2^{x}=2$

m₂ = - 4 - не подходит, так как m должно быть > 0 .

Ответ : 2