Question

Дам 60 баллов (!)за ясный обоснованный ответ(!), Геометрия, 9 класс.
Я нашла в интернете формулы радиуса описанной и вписанной окружности в правильный треугольник, а так же как высчитать его высоту:
R= (√3/3) * а
r= (√3/6) * а
h= (√3/2) * a
Пролазила все возможные сайты, но нигде нет объяснений, почему именно числа √3, 6, 2, и тд. есть в этих формулах.
Буду очень признательна если кто-нибудь объяснит.

Answer 1

Дело было  так

1)Опускаем высоту в треугольнике, не важно какую, он правильный

получаем треугольник ABH, где угол H = 90, A=60, B=30

теперь по теореме синусов находим саму высоту

h/sin60=a/sin90;

h=a*sin60=a*(√3/2)

2)Радиус вписанно можно найти отсюда же, опускаем вторую высоту. Т.к. треугольник правильный, эта высота так же является и медианой, и соответственно пересечением они делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть мы просто делим h на 3

r=h/3=a*(√3/6)

3)Радиус описанной так же отсюда

только она составляет не треть, от высоты, а две трети

R=h*2/3=a*(√3/3)