Question

Существуют ли различные простые числа m, n такие что m!+m делится на n!+n?

Answer 1

Ответ:  нет,  не существуют.  

Решение:

Представим, что такие числа $m$ и $n$ существуют!

В числах $m!+m$ и $n!+n$ вынесем общий множитель за скобки и получим $m((m-1)!+1)$ и $n((n-1)!+1)$. И понятно, что $m>n$. И первое из этих чисел должно делиться на второе. Но $m$ - простое и делиться ни на что из этого не может.

Тогда $(m-1)!+1$ делится на $n!+n$. Из чего делаем вывод, что $n!+n-1$ - число-факториал.

Но $n!+n-1=n(n-1)... \cdot 2 \cdot 1+n-1<(n+1)!$ (если $n$ простое натуральное). И указанное число факториалом быть не может.

Но тогда такие простые числа $m$ и $n$ не существуют!