Question

Проверить, является ли функция аналитичной
f(z) = $e^{2z}$

Answer 1

Функция аналитична, если выполняются условия Коши-Римана:

$\left\{\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{matrix}\right.$

$f(z)=e^{2z}=e^{2(x+iy)}=e^{2x+2iy}=e^{2x}*e^{i2y}=e^{2x}(\cos2y+i \sin2y)= \\ \\ =e^{2x}\cos2y+i e^{2x}\sin2y \\ \\ u(x,y)=e^{2x}\cos2y; \ \ v(x,y)=e^{2x}\sin2y$

$\frac{\partial u}{\partial x}=2e^{2x}\cos2y \\ \\ \frac{\partial v}{\partial y}=2e^{2x}\cos2y \\ \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-2e^{2x}\sin 2y \\ \\- \frac{\partial v}{\partial x}=-(2e^{2x}\sin2y)=-2e^{2x}\sin2y$

Условия выполняются, следовательно функция аналитична во всей комплексной плоскости