Question

Довести, что выражение правильное

Answer 1

Идея решения проста: пользуемся основным тригонометрическим тождеством, дополняем числитель до полного квадрата, в знаменателе раскрываем сумму кубов, а затем тоже дополняем до полного квадрата.

$\sf \dfrac{sin^4a+cos^4a-1}{sin^6a+cos^6a-1}=\dfrac{(sin^4a+2sin^2acos^2a+cos^4a)-2sin^2acos^2a-1}{(sin^2a+cos^2a)(sin^4a-sin^2acos^2a+cos^4a)-1}= \\ \\ =\dfrac{(sin^2a+cos^2a)^2-2sin^2acos^2a-1}{sin^4a-sin^2acos^2a+cos^4a-1}=\dfrac{-2sin^2acos^2a}{(sin^4a+2sin^2acos^2a+cos^4a)-3sin^2acos^2a-1}= \\ =\dfrac{-2sin^2acos^2a}{(sin^2a+cos^2a)^2-3sin^2acos^2a-1}=\dfrac{-2sin^2acos^2a}{-3sin^2acos^2a}=\boxed{\sf \dfrac{2}{3}}$