Question

Производная)
Доказать, что если дифференцируемая на R функция y = f (x) является четной, то ее производная является нечетной функцией. Подробно пожалуйста.

Answer 1

Функция чётна, если $f(-x)=f(x)$, и нечётна, если $f(-x)=-f(x).$

Пусть функция f(x) чётна:

$f(-x)=f(x)$

Продифференцируем обе части этого уравнения (левую часть по правилу производной сложной функции):

$f'(-x) \cdot (-x)'=f'(x)\\f'(-x) \cdot (-1)=f'(x)\\-f'(-x)=f'(x)\\f'(-x)=-f'(x)$

Из последнего равенства следует, что производная $f'(x)$ является нечётной функцией, что и требовалось доказать.

***

Если будут какие-нибудь вопросы — задавайте.