Question

Определить область сходимости ряда:

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Воспользуемся признаком Д'Аламбера.

$\displaystyle u_n(x)=(-1)^n\frac{n+1}{2^n}x^n\ \ \ \ \ \ \ u_{n+1}(x)=(-1)^{n+1}\frac{n+2}{2^{n+1}}x^{n+1}\\\\ \lim_{n \to \infty} |\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|= \lim_{n \to \infty}|\frac{n+2}{n+1}*\frac{x^{n+1}}{x^n}*\frac{2^n}{2^{n+1}}|=\frac{|x|}{2}\lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{n+1}_{\to1}=\frac{|x|}{2}<1\\\\\\-2<x<2$

Мы нашли интервал сходимости. А теперь самое "вкусное": исследует тот бардак,что получается на границах:

$\displaystyle x=2\\\sum\limits^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n+1}{2^n}2^n=\sum\limits^\infty_{n=1}(-1)^{n}(n+1)$

Ряд расходится, так как не выполняется условие ни абсолютной ни условной сходимости.

$\displaystyle x=-2\\\sum\limits^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n+1}{2^n}*(-2)^n=\sum\limits^\infty_{n=1}(-1)^{2n}(n+1)=\sum\limits^\infty_{n=1}n+1$

Ряд расходится согласно необходимого признака сходимости.

Ответ: -2<x<2