Question

$\tt\displaystyle \bigg{|}\frac{x^2-x-2}{x^2-4x+3}\bigg{|}=a\cdot\frac{x^2-x-2}{x^2-4x+3}\\\\\\\\a = -9\cdot f'(0)\\\\\\f(z) = \frac{z^2 - 1}{z-3}$

Answer 1

$\sf f'(z)=\dfrac{(z^2-1)'(z-3)-(z^2-1)(z-3)'}{(z-3)^2}=\dfrac{2z(z-3)-(z^2-1)}{(z-3)^2}=\\ \\ \\ =\dfrac{2z^2-6z-z^2+1}{(z-3)^2}=\dfrac{1-6z}{(z-3)^2};\\ \\ \\ f'(0)=\dfrac{1-6\cdot0}{(0-3)^2}=\dfrac{1}{9}$

$\sf a=-9\cdot f'(0)=-9\cdot\dfrac{1}{9}=-1$

решим уравнение $\sf \bigg|\dfrac{x^2-x-2}{x^2-4x+3}\bigg|=-\dfrac{x^2-x-2}{x^2-4x+3}$

Это уравнение будет верным, когда его правая часть - неотрицательная(т.к. левая часть всегда неотрицательная).

$\sf -\dfrac{x^2-x-2}{x^2-4x+3}\geqslant0\\ \\ \dfrac{x^2-x-2}{x^2-4x+3}\leqslant0$

ОДЗ: $x^2-4x+3\ne0~~~\Leftrightarrow~~~ x_1\ne1;~~~ x_2\ne3$

$x^2-x-2=0\\ x_1=2;~~~~ x_2=-1$

____+____[-1]___-___(1)___+__[2]___-___(3)___+____>

$\sf x \in [-1;1)\cup[2;3)$   -  ответ