Question

Вычислить производные:
а) степенно-показательной функции
б) неявно заданной функции
в) параметрически заданной функции

Answer 1

а)

$y=\sin^{x^3}(x)\\\ln(y)=\ln(\sin^{x^3}(x))\\\ln(y)=x^3\ln(\sin(x))\\\frac{y'}{y}=3x^2\ln(\sin(x))+x^3\cot(x)\\y'=\sin^{x^3}(x)(3x^2\ln(\sin(x))+x^3\cot(x))$

б)

$y^5+x^5-5xy=0\\5y^4y'+5x^4-5y-5xy'=0\\y'(-5x+5y^4)=-5x^4+5y\\y'=\frac{-5x^4+5y}{-5x+5y^4}=\frac{x^4-y}{x-y^4}$

в)

$\left \{ {{x=t-\arctan(t)} \atop {y=\ln(1+t^2)}} \right. \\y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{1-\frac{1}{1+t^2}}=\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1+t^2-1}{1+t^2}}=\frac{2t}{t^2}=\frac{2}{t}$