Question

№140.Исследовать на совместимость и решить систему.На подобии примера.

Answer 1

$\left(\begin{array}{lllll}1&-3&-3&9&|\; 3\\3&-8&-9&24&|\; 7\\3&-10&-10&27&|12\end{array}\right)\sim \; \; 1str\cdot (-3)+2str\; \; ;\; \; 1str\cdot (-3)+3str\\\\\\\sim \left(\begin{array}{lllll}1&-3&-3&\; \; 9&|\; 3\\0&\; \; 1&\; 0&-3&|-2\\0&-1&-1&\; \; 0&|\; 3&\end{array}\right)\sim \; \; 2str+3str$

$\sim \left(\begin{array}{lllll}1&-3&-3&\; \; 9&|\; 3\\0&\; \; 1&\; \; 0&-3&|-2\\0&\; \; 0&-1&-3&|\; \; \; 1\end{array}\right)$

Ранг матрицы системы равен r= 3, и равен рангу расширенной матрицы r= 3. Значит, по теореме Кронекере-Капелли  система совместна (имеет решения) . Так как ранг меньше количества неизвестных (n=4), то есть r=3<n=4, то система неопределённая (имеет бесчисленное множество решений).

Выберем основные (базисные) неизвестные. Это будут  $x_1\; ,\; x_2\; ,\; x_3$  , так как

$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1&-3&-3\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right|=-1\ne 0$

Неизвестное  $x_4$  является свободным (принимает произвольные значения).

$\left\{\begin{array}{rrr}x_1-3x_2-3x_3+9x_4=3\\x_2-3x_4=-2\\-x_3-3x_4=1\end{array}\right \; \; \; \left\{\begin{array}{r}x_1-3x_2-3x_3+9x_4=3\\x_2=3x_4-2\\x_3=-3x_4-1\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{r}x_1=-9x_4-6\\x_2=3x_4-2\\x_3=-3x_4-1\end{array}\right \\\\\\Otvet:\; \; \{\; -9x_4-6\; ;\; \; 3x_4-2\; ;\; \; -3x_4-1\; ,\; \; x_4\; \}\; .$