Question

Как связаны между собой рациональные числа и бесконечные переодические десятичные дроби?
Помогите пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

Число, представимое в виде $\tt \displaystyle \frac{m}{n}$, где m∈Z и n∈N, называется рациональным числом (Z - множество целых чисел,  N - множество натуральных чисел).

Множество рациональных чисел обозначается как

$\tt \displaystyle Q= \{a \;| \; a=\frac{m}{n} , m \in Z, n \in N \}.$

Как известно, число вида $\tt \displaystyle \frac{m}{n}$, где m∈Z и n∈N, называется обыкновенной дробью.

Обыкновенная дробь, знаменатель  (то есть n) которой равен 10, 100, 1000 и вообще 10ⁿ, n∈N, может быть записана в виде десятичной дроби. Например: 7,211963; 2020,0818.

Если у десятичной дроби после запятой содержится бесконечно много цифр, то такая дробь называется бесконечной десятичной дробью. Если у десятичной дроби после запятой содержится конечное число цифр, то такая дробь называется конечной десятичной дробью.

Десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей. Десятичная дробь не изменится, если отбросить нули, стоящие справа в конце неё. Например, 70,2101963= 70,210196300000 (нули, не стоящие в конце числа, отбрасывать нельзя).

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Если в десятичной записи числа группа цифр будут повторяться бесконечное число раз, то такая десятичная дробь называется периодической дробью, а повторяющаяся группа цифр называется периодом. Для краткости период часто пишут в круглых скобках: 0,666... = 0,(6); 0,131131131131... = 0,(131); 0,1777...7... = 0,1(7).

В силу вышесказанных можно заключаем, что:

Любое рациональное число можно представить в виде периодической дроби.