Question

Вычислить предел(подробно)

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{5}{sin^2(6x)}=1^\infty=[\lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{1}{ln(1+x^2)}]^{\frac{5ln(1+x^2)}{sin^2(6x)}}=\\...=e^{\displaystyle5\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x^2)}{sin^2(6x)} }=e^{\displaystyle\frac{5}{3}\lim_{x \to 0}\frac{x}{(1+x^2)*sin(12x)}}=\\=e^{\displaystyle\frac{5}{3}\lim_{x \to 0}\frac{1}{(2x*sin(12x)+12cos(12x)*(1+x^2)}}=e^{\displaystyle\frac{5}{36}}$

Это если раскрывать 0/0 по Лопиталю, долго,муторно да еще и возиться с производными. Пойдем другой дорогой, воспользуемся теорией о бесконечно малых величинах.

$ln(1+x^2)\approx x^2\ ;sin(6x)\approx6x\\\\\\\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{5}{sin^2(6x)}=1^\infty=[\lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{1}{ln(1+x^2)}]^{\frac{5ln(1+x^2)}{sin^2(6x)}}=\\...=e^{\displaystyle5\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x^2)}{sin^2(6x)} }=e^{\displaystyle5\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{36x^2}}=e^{\displaystyle\frac{5}{36}}$

Разница на лицо, вычислений нет, все иксы сократились и решение убавилось в масштабах.