Question

Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.

Answer 1

Рассмотрим треугольник АОД. Он прямоугольный, поскольку хорда АС перпендикулярна радиусу ОК.
По условию хорда АС делит радиус ОК пополам. Так что
ОД = R/2
Но AO = R
Следовательно, ОД = АО/2
Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то угол, противоположный этому катету, равен 30 градусов.
Докажем это.
ОД/АО = sin OAД
sin ОАД = 1/2
<ОАД = 30 градусов
Эти же рассуждения верны для треугольника ДОС, следовательно < ОСД=30 градусов.
< АОС = 180 - (<ОАД + <ОСД) = 180-(30+30) = 120 градусов.
Линия ДВ делит треугольник АВС пополам, так как ОВ общая сторона, АД = ДС, а
< АДО = <ОДС = 90 градусов.
Можно посчитать чему равен наружный угол АОС:
<АОС = 360-120 = 240 градусов.
Тогда < АОВ = <ВОС = < АОС/2 = 240/2=120 градусов.
Поскольку ОВ = R, то следующие треугольники равны:
АОВ = ВОС = АОС
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, равны и соответствующие стороны треугольника АВС:
АВ = ВС = СА
А это значит, что треугольник АВС равносторонний