Question

вычислить производные функции, заданных явно

Answer 1

$1)\; \; y=\sqrt[5]{2x-\frac{7}{\sqrt{x}}}\; \; ,\; \; (u^{1/5})'=\frac{1}{5}\cdot u^{-4/5}\cdot u'\; ,\; u=2x-\frac{7}{\sqrt{x}}\\\\y'=\frac{1}{5}\cdot (2x-\frac{7}{\sqrt{x}})^{-\frac{4}{5}}\cdot (2+\frac{7\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} }{x})=\frac{1}{5\, \cdot \sqrt[5]{(2x-\frac{7}{\sqrt{x}})^4}}\cdot (2+\frac{7}{2\sqrt{x^3}})\\\\2)\; \; y=4^{x^2-2x+7}\; \; ,\; \; (4^{u})'=4^{u}\cdot ln4\cdot u'\; \; ,\; \; u=x^2-2x+7\\\\y'=4^{x^2-2x+7}\cdot ln4\cdot (2x-2)\\\\3)\; \; y=lg^2\, (x^2+\frac{1}{x})\; \; ,\; \; (u^2)'=2u\cdot u'\; ,\; \; u=lg(x^2+\frac{1}{x})\\\\y'=2\, lg\, (x^2+\frac{1}{x})\cdot \frac{1}{(x^2+\frac{1}{x})\cdot ln10}\cdot (2x-\frac{1}{x^2})$

$4)\; \; y=tg^2(2x+4\sqrt{x})\; \; ,\quad (u^2)'=2u\cdot u'\; ,\; \; u=tg(2x+4\sqrt{x})\\\\y'=2\, tg(2x+4\sqrt{x})\cdot \frac{1}{cos^2(2x+4\sqrt{x})}\cdot (2+\frac{4}{2\sqrt{x}})\\\\5)\; \; y=arcsin\, \frac{x+4\sqrt{x}}{2x+3}\; \; ,\; \; \; (arcsinu)'=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u'\; \; ,\; \; u=\frac{x+4\sqrt{x}}{2x+3}\\\\y'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x+4\sqrt{x}}{2x+3})^2}}\cdot \frac{(1+\frac{4}{2\sqrt{x}})\cdot (2x+3)-(x+4\sqrt{x})\cdot 2}{(2x+3)^2}$