Question

$\lim_{x \to a} = (x^m-a^m)/(x^n-a^n)$

Answer 1

Заменим x на a * (1 + y), при этом $x\to a$ соответствует $y\to 0$. Подставляем:

$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{x^m-a^m}{x^n-a^n}=\lim_{y\to0}\frac{a^m(1+y)^m-a^m}{a^n(1+y)^n-a^n}=a^{m-n}\lim_{y\to0}\frac{(1+y)^m-1}{(1+y)^n-1}=\dots$

Известно, что $(1+y)^a-1\sim ay$ при $y\to0$ (это можно получить, например, из одного из замечательных пределов). Тогда

$\displaystyle\dots =\frac{m}{n}a^{m-n}\lim_{y\to0}\frac{(1+y)^m-1}{ym}\cdot\frac{yn}{(1+y)^n-1}=\frac{m}{n}a^{m-n}\cdot1\cdot 1=\frac{m}{n}a^{m-n}$