Question

$sin^{2} x + 5 sin x cosx + 3cos^{2} x = -1$
а) Решите это уравнение;
б) Укажите корни, принадлежащие интервалу ($-\frac{\pi }{2}$;0).

Answer 1

$1)\; \; sin^2x+5\, sinx\, cosx+3cos^2x=-1\\\\sin^2x+5\, sinx\, cosx+3cos^2x=-(sin^2x+cos^2x)\\\\2sin^2x+5\, sinx\, cosx+4cos^2x=0\; |:cos^2x\ne 0\\\\2tg^2x+5tgx+4=0\\\\t=tgx\; ,\; \; 2t^2+5t+4=0\; ,\; \; D=25-4\cdot 2\cdot 4=-7<0\; \; \Rightarrow \\\\t\in \varnothing\; \; \Rightarrow \; \; x\in \varnothing \\\\2)\; \; sin^2x+5\, sinx\, cosx+3cos^2x=1\\\\sin^2x+5\, sinx\, cosx+3cos^2x=sin^2x+cos^2x\\\\5sinx\, cosx+2cos^2x=0\\\\cosx\cdot (5sinx+2cosx)=0$

$a)\; \; \star \; \; cosx=0\; \; ,\; \; x=\frac{\pi }{2}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\\star \star \; \; 5sinx+2=0\; |:cosx\ne 0\\\\tgx=-\frac{2}{5}\\\\x=-arctg\frac{2}{5}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; x\in (-\frac{\pi }{2}\; ;\; 0)\; :\; \; x=-arctg\frac{2}{5}$

$Otvet:\; a)\; x=\frac{\pi }{2}+\pi n\; \; ,\; \; x=-arctg\frac{2}{5}+\pi n\; \; ,\; \; n\in Z\; ;\; b)\; x=-arctg\frac{2}{5}\; .$