Question

Вычислите - 4/5 q, если х1, х2 - корни уравнения х^2-2х+q=0 и х1^3 +х2^3=32.

Answer 1

• Рассмотрим уравнение: x₁³+x₂³ = 32

Преобразуем по формуле суммы кубов:  (x+y)(x²-xy+y²) = x³+y³

(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²) = 32

• Рассмотрим уравнение: x²-2x+q = 0

Из теоремы Виета получаем, что

1. x₁+x₂ = 2
2. x₁x₂ = q

Преобразуем нашу формулу суммы кубов, подставив вместо x₁+x₂ и вместо x₁x₂ соответствующие значения (2 и q):

(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²) = 32

2 * (x₁²- q + x₂²) = 32

• x₁²+ x₂² - q= 16

Чтобы найти значение x₁²+x₂², возведём в квадрат следующее равенство:

(x₁+x₂)² = 2²

x₁²+2x₁x₂+x₂²=4

x₁²+x₂²=4-2x₁x₂

Воспользуемся следующим равенством x₁x₂ = q

x₁²+x₂²=4-2q

Ещё раз преобразуем нашу формулу:

x₁²+ x₂² - q= 16

4 - 2q - q = 16;

-3q =12

q = -4

Умножим на -4/5 и получаем ответ: -4/5q = -16/5