Question

Кто поможет решить? Дам 23 балла.

Answer 1

Задана однородная система лин. уравнений. Она всегда совместна, то есть имеет решения. Одним из решений всегда является тривиальное (нулевое) решение. Определим, сколько решений имеет система. Приведём систему к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований матрицы системы.

$\left(\begin{array}{cccccc}1&0&-1&0&1&0\\0&1&0&-1&0&1\\1&-1&0&0&1&-1\\0&1&-1&0&0&1\\1&0&0&-1&1&0\end{array}\right)\sim \; \; \; -1str+3str\; \; ;\; \; -1str+5str\; ;\\\\\\\sim \left(\begin{array}{cccccc}1&0&-1&0&1&0\\0&1&0&-1&0&1\\0&-1&1&0&0&-1\\0&1&-1&0&0&1\\0&0&1&-1&0&0\end{array}\right)\sim \; \; 2str+3str\; \; ;\; \; -2str+4str\; \; ;\\\\\\\sim \left(\begin{array}{cccccc}1&0&-1&0&1&0\\0&1&0&-1&0&1\\0&0&1&-1&0&0\\0&0&-1&1&0&0\\0&0&1&-1&0&0\end{array}\right)\sim \; \; 3str+4str\; \; ;\; \; -3str+5str\; \; ;$

$\sim \left(\begin{array}{cccccc}1&0&-1&0&1&0\\0&1&0&-1&0&1\\0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccccc}1&0&-1&0&1&0\\0&1&0&-1&0&1\\0&0&1&-1&0&0\end{array}\right)$

Система имеет ранг = 3 , а количество неизвестных 6  (3<6)  ⇒    система имеет бесчисленное множество решений (она явл. неопределённой). Выбираем базисные неизвестные, это будут х₁ , х₂ , х₃ , т.к. определитель матрицы, составленной из коэффициентов перед этими неизвестными отличен от 0 .

$\left|\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|=1\ne 0$

Остальные неизвестные: х₄ , х₅ , х₆ - свободные неизвестные , они могут принимать произвольные значения. Выразим базисные неизвестные через свободные.

$\left\{\begin{array}{ccc}x_1-x_3+x_5=0\\x_2-x_4+x_6=0\\x_3-x_4=0\end{array}\right \; \; \left\{\begin{array}{ccc}x_1-x_3=-x_5\\x_2=x_4-x_6\\x_3=x_4\end{array}\right \; \; \left\{\begin{array}{ccc}x_1=x_4-x_5\\x_2=x_4-x_6\\x_2=x_4\end{array}\right\\\\\\\alpha =x_4\; ,\; \; \beta =x_5\; ,\; \; \gamma =x_6\; \; \Rightarrow \\\\x_1=\alpha -\beta \; \; ,\; \; x_2=\alpha -\gamma \; \; ,\; \; x_3=\alpha \\\\Otvet:\; \; X=\left(\begin{array}{cccccc}\alpha -\beta \\\alpha -\gamma \\\alpha \\\alpha \\\beta \\\gamma \end{array}\right)\; .$