Question

Доказать, что ... для любых действительных x и y, имеющих одинаковые знаки

Answer 1

$|x|+|y|= \begin{cases} x+y \ \ \ \ \ x,y>0\\ -x-y\ \ \ x,y<0\end{cases}$

--------------------------

1) для $x,y>0$

$\left|\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}}\right| +\left|\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}} \right| =$

$\frac{1}{2} \left|x+y-2\sqrt{xy}}\right| + \frac{1}{2} \left|x+y+2\sqrt{xy}} \right| =$

$\frac{1}{2} \left|( \sqrt{x}- \sqrt{y} )^2 \right| + \frac{1}{2}\left| ( \sqrt{x}+ \sqrt{y} )^2\right| =$

$\frac{1}{2} ( \sqrt{x}- \sqrt{y} )^2 + \frac{1}{2}( \sqrt{x}+ \sqrt{y} )^2 =$

$\frac{1}{2} (x-2 \sqrt{xy}+y ) + \frac{1}{2}( x+2\sqrt{xy}+ y )=x+y$

--------------------------

2) для $x,y<0$

$\left|\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}}\right| +\left|\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}} \right| =$

$\frac{1}{2} \left|x+y-2\sqrt{xy}}\right| + \frac{1}{2} \left|x+y+2\sqrt{xy}} \right| =$

$\frac{1}{2} \left|( \sqrt{-x}- \sqrt{-y} )^2 \right| + \frac{1}{2}\left| ( \sqrt{-x}+ \sqrt{-y} )^2\right| =$

$\frac{1}{2} ( \sqrt{-x}- \sqrt{-y} )^2 + \frac{1}{2}( \sqrt{-x}+ \sqrt{-y} )^2 =$

$\frac{1}{2} (-x-2 \sqrt{xy}-y ) + \frac{1}{2}( -x+2\sqrt{xy}- y )=-x-y$

--------------------------

$\left|\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}}\right| +\left|\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}} \right| =|x|+|y|$

для любых действительных x и y, имеющих одинаковые знаки