Question

$1 ^{2} + 2 {}^{2} + 3 {}^{2} + ... + (2n - 1) {}^{2 } = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$
помогите математическая инудкция

Answer 1

1) Базис индукции: n=1

$(2\cdot 1-1)^2=\dfrac{1\cdot(2\cdot1-1)(2\cdot 1+1)}{3}\\\\1=1$

2) Предположим что и при n=k равенство верно

$1^2+2^2+3^2+...+(2n-1)^2=\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$

3) Индукционный переход: n = k+1

$\underbrace{1^2+2^2+3^2+...+(2k-1)^2}_{\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}}+(2(k+1)-1)^2=\dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$

Докажем теперь равенство, а именно покажем что левая часть равна правой части.

$\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2(k+1)-1)^2=\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2=\\ \\ =\dfrac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^2}{3}=\dfrac{(2k+1)(k(2k-1)+3(2k+1))}{3}=\\ \\ =\dfrac{(2k+1)(2k^2-k+6k+3)}{3}=\dfrac{(2k+1)(2k^2+2k+3k+3)}{3}=\\ \\ =\dfrac{(2k+1)((2k(k+1)+3(k+1))}{3}=\dfrac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$

Что и требовалось доказать