Question

(20 балов) Срочно нужно!!!Помогите пожалуйста!!

Answer 1

a) Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$\dfrac{dy}{dx}=e^{2x}\cdot e^{-y}$

Разделим же переменные и проинтегрируем обе части уравнения:

$\displaystyle \int e^ydy=\int e^{2x}dx~~~\Rightarrow~~~ e^y=0.5e^{2x}+C\\ \\ \\ \boxed{y=\ln(0.5e^{2x}+C)}$

б) Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, также однородное. Для однородных диф. уравнений используют замену $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$

$(x-2ux)(u'x+u)=2x+ux\\ (1-2u)(u'x+u)=2+u\\ u'x+u-2uu'x-2u^2=2+u\\ u'x(1-2u)=2+2u^2\\ \\\displaystyle \int \dfrac{(2u-1)du}{1+u^2}=-\int \frac{2dx}{x}~~\Rightarrow~~~ \int \frac{d(u^2+1)}{1+u^2}-\int \frac{du}{1+u^2}=-\int\dfrac{2dx}{x}\\ \\ \\\ln|1+u^2|-{\rm arctg}u=-2\ln|x|+C$

Сделаем обратную замену, подставив u = y/x

$\ln\bigg|1+\dfrac{y^2}{x^2}\bigg|-{\rm arctg}\,\dfrac{y}{x}=-2\ln|x|+C$