Question

в треугольнике АВС ВС=4,АС=8,АВ=4 корня из 3.Точка Д середина стороны АС. Вычислить площадь треугольника АВД и расстояние от точки А до прямой ВД. дам 20 баллов. ПОЖАЛУЙСТА :)

Answer 1

Определим вид треугольника ABC:

$BC^2+AB^2=4^2+(4\sqrt{3})^2=16+48=64\\AC^2=8^2=64\\AC^2=BC^2+AB^2$

Следовательно ΔABC прямоугольный ∠B = 90°

Найдем площадь ΔABC как полупроизведение катетов:

$S_{ABC}=\frac{AB*BC}{2}=\frac{4\sqrt{3}*4}{2}=8\sqrt{3}$

Т.к. D - середина стороны AC, то BD - медиана, которая делит ΔABC на два равновеликих треугольника ⇒

$S_{ABD}=S_{BDC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}*8*\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

Катет BC равен половине гипотенузы AC ⇒ ∠BAC = 30°

Т.к. точка D - середина гипотенузы, то она является центром описанной окружности и BD = AD, а следовательно ΔABD равнобедренный и ∠ABD = ∠BAC = 30°

Расстояние от точки A до прямой BD равно длине перпендикуляра AH, опущенного из этой точки на прямую BD и находится из прямоугольного ΔABH:

$AH=AB*\sin{\widehat{ABH}}=4\sqrt{3}*\frac{1}{2}=2\sqrt{3}$