Question

Найти частное решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:

$y''+y'-2y=0$

Пусть $y=e^{kx}$, тогда получаем характеристическое уравнение:

$k^2+k-2=0$

$k_1=-2\\ k_2=1$

Общее решение однородного уравнения: $y^*=C_1e^{-2x}+C_2e^x$

Рассмотрим правую часть $f(x)=e^{-2x}$

Здесь $P_n(x)=1~~\Rightarrow~~~ n=0;~~~ \alpha=-2$. Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и ,принимая во внимая, что n=0 частное решение будем искать в виде:

$\overline{y}=Axe^{-2x}$

Вычислим первую и вторую производные функции

$y'=(Axe^{-2x})'=Ae^{-2x}-2Axe^{-2x}\\ y''=-2Ae^{-2x}-2Ae^{-2x}+4Axe^{-2x}=-4Ae^{-2x}+4Axe^{-2x}$

Подставляем в исходное уравнение

$-4A+4Ax+A-2Ax-2Ax=1\\ -3A=1\\A=-\dfrac{1}{3}$

$\overline{y}=-\dfrac{1}{3}xe^{-2x}$

Общее решение неоднородного уравнения:

$y=y^*+\overline{y}=C_1e^{-2x}+C_2e^x-\dfrac{1}{3}xe^{-2x}\\ \\\\ y'=-2C_1e^{-2x}+C_2e^x+\dfrac{2}{3}xe^{-2x}-\dfrac{1}{3}e^{-2x}$

Найдем частное решение подставив начальные условия

$\displaystyle \left \{ {{-1=C_1+C_2} \atop {1=-2C_1+C_2-\dfrac{1}{3}}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{C_1=-\dfrac{7}{9}} \atop {C_2=-\dfrac{2}{9}}} \right.$

Получаем ответ: $y=-\dfrac{7}{9}e^{-2x}-\dfrac{2}{9}e^x-\dfrac{1}{3}xe^{-2x}$