Question

Найти частное решение диф уравнения

 

 $frac{2x}{y^3}dx+frac{y^2-3x^2}{y^4}dy=0$

удовлетворяющее начальному условию у(1)=1, и вычислить его значение при х=5

Answer 1

Домножив на y⁴, получаем

2*x*y dy + (y² - 3*x²) dx

2*x*y dy = (3*x² - y²) dx

dy / dx = (3*x² - y²)/(2*x*y) = 1,5*x/y - 0,5*y/x

При одновременном умножении х и у на одно и то же число правая часть не меняется, поэтому это однородное уравнение.

Пусть  у = u * x .  Тогда  dy / dx = u + x * du / dx  и уравнение принимает вид

u + x * du / dx = 1,5 / u - 0,5 * u

x * du / dx = 1,5 (u - 1 / u)

u du / (u² - 1) = 1,5 dx / x

1/2 ln (u² - 1) = 3/2 * ln x + 1/2 * ln C

(u² - 1) = C * x³

y² - x² = C * x⁵

y² = C * x⁵ + x²

Если при х = 1  у = 1, то С = 0 и решение уравнения  у = х.

Тогда соответственно при  х = 5  у = 5.